公式の証明・導出
光電効果とアインシュタインの光量子仮説の関係の導出
関連単元: 物理 原子
証明する内容
金属の表面に光を当てると、金属の中から電子が飛び出してくることがあります。この現象を光電効果といいます。アインシュタインは、光を、エネルギーの粒である「光子」の集まりだと考えることで、光電効果のしくみを説明しました。
振動数 $\nu$(ニュー)の光を金属に当てたとき、飛び出してくる電子の速さの最大値を $v_{max}$、金属から電子を飛び出させるために必要な最小のエネルギーを $W$(仕事関数といいます)、電子の質量を $m$ とすると、次の関係式が成り立ちます。
$h\nu = W + \frac{1}{2}mv_{max}^2$
ここで $h$ はプランク定数です。この証明では、光を光子の粒として考え、1個の光子が1個の電子に吸収されるという考え方と、エネルギー保存則を使って、この式を導きます。
証明
ステップ1:光子のエネルギーを確認する
アインシュタインの光量子仮説によると、光は、粒子(光子)の集まりとして振る舞います。振動数 $\nu$ の光の、1個の光子が持つエネルギー $\varepsilon$ は、
$\varepsilon = h\nu$
と表されます。ここで $h$ はプランク定数と呼ばれる、光の種類によらない共通の定数です。振動数が大きい光(たとえば紫外線)ほど、1個の光子が持つエネルギーは大きくなります。
ステップ2:金属中の電子と仕事関数を確認する
金属の中には、自由に動くことができる電子が存在します。しかし、これらの電子は、金属の中に留まろうとする力(金属内部の原子との相互作用)を受けており、金属の外に飛び出すためには、その力に逆らって仕事をする必要があります。
金属の中の電子のうち、金属の表面近くにいて、最も金属から飛び出しやすい(飛び出すために必要なエネルギーが最も小さい)電子について、それを金属の外に飛び出させるために必要な最小のエネルギーを、仕事関数といい、記号 $W$ で表します。仕事関数 $W$ は、金属の種類によって決まる定数です。
金属の中には、表面近くの電子だけでなく、もっと内部にあって、飛び出すためにより多くのエネルギーが必要な電子も存在します。しかし、以下では、最も飛び出しやすい電子(飛び出すために必要なエネルギーがちょうど $W$ である電子)に注目して考えます。
ステップ3:1個の光子が1個の電子に吸収される、という考え方
アインシュタインの光量子仮説では、光と電子の相互作用は、次のように考えます。1個の光子が金属中の1個の電子に衝突すると、その光子の持つエネルギー $h\nu$ は、そっくりそのままその1個の電子に吸収されます(光子のエネルギーが、複数の電子に分け与えられたり、一部だけが吸収されたりすることはない、という考え方です)。
エネルギー $h\nu$ を受け取った電子は、そのエネルギーを使って、次の2つのことに使います。
- 金属の外に飛び出すために必要なエネルギー(仕事関数の分、$W$)を消費する。
- 残ったエネルギーが、金属から飛び出した後の電子の運動エネルギーになる。
ステップ4:エネルギー保存則を立てる
ステップ2で述べた、最も飛び出しやすい電子(飛び出すために必要なエネルギーがちょうど $W$ である電子)が光子のエネルギーを吸収した場合を考えます。この電子が金属から飛び出した直後の速さを $v_{max}$ とすると、そのときの運動エネルギーは $\dfrac{1}{2}mv_{max}^2$ です(なぜこれが「最大の」速さになるのかは、次のステップで説明します)。
エネルギー保存則より、電子が光子から受け取ったエネルギー $h\nu$ は、金属から飛び出すために使われたエネルギー $W$ と、飛び出した後の運動エネルギー $\dfrac{1}{2}mv_{max}^2$ との和に等しくなります。
$h\nu = W + \frac{1}{2}mv_{max}^2$
これが、光電効果において成り立つ式です。
ステップ5:なぜ $v_{max}$ が最大の速さになるのかを確認する
金属の中には、表面近くの、最も飛び出しやすい電子だけでなく、もっと内部にある電子もあります。内部にある電子が光子のエネルギー $h\nu$ を吸収した場合、金属の外に出るまでの間に、まわりの原子と衝突するなどして、エネルギーの一部を失ってしまいます。そのため、金属の外に飛び出したときの運動エネルギーは、$h\nu-W$ よりも小さくなります。
一方、表面近くにいて、最初から飛び出すために必要なエネルギーがちょうど $W$ である電子は、金属の外に出るまでにエネルギーを失うことがなく、光子から受け取ったエネルギー $h\nu$ のうち、使われる分が最も少ない(ちょうど $W$ だけが使われる)ため、飛び出した後の運動エネルギーが最も大きくなります。これが、$v_{max}$ が「最大の」速さと呼ばれる理由です。
したがって、飛び出してくる電子の運動エネルギーの最大値 $\dfrac{1}{2}mv_{max}^2$ について、ステップ4のエネルギー保存則の式
$h\nu = W + \frac{1}{2}mv_{max}^2$
が成り立ちます。
この証明のポイント
この証明では、「現象を粒子どうしの衝突(1個の光子と1個の電子の相互作用)として捉え、そこにエネルギー保存則を当てはめる」という考え方を使いました。この、エネルギー保存則を使って、受け取ったエネルギーの「使いみち」を分解して式を立てるという方法は、力学や熱力学など、他の分野の多くの問題にも応用できる考え方です。