ケプラーの第三法則と万有引力定数の関係の導出

証明する内容

質量 $M$ の天体(たとえば太陽)のまわりを、質量 $m$ の物体(たとえば惑星)が、半径 $r$ の円軌道を描いて公転しているとします。この公転の周期を $T$ とすると、次の関係(ケプラーの第三法則)が成り立ち、その比例定数が万有引力定数 $G$ を用いて表せることを証明します。

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}\ (\text{一定})$

これは、円軌道の半径の3乗と、公転周期の2乗の比が、中心の天体の質量 $M$ と万有引力定数 $G$ だけで決まり、公転している物体の質量 $m$ にはよらない、という法則です。

証明

ステップ1:万有引力が向心力になっていることを式にする

質量 $M$ の天体と質量 $m$ の物体の間には、万有引力の法則より、大きさ

$F=\frac{GMm}{r^2}$

の引力がはたらきます($G$ は万有引力定数)。物体が半径 $r$ の円軌道を一定の速さで運動している(等速円運動をしている)とき、物体には、円の中心に向かう向心力が必要です。この向心力は、万有引力によって供給されていると考えます。

「等速円運動の加速度(向心加速度)の導出」のページより、半径 $r$、角速度 $\omega$ の等速円運動をする物体の加速度(向心加速度)は $a=r\omega^2$ です。運動方程式 $F=ma$ より、この物体に必要な向心力の大きさは、

$F=ma=mr\omega^2$

万有引力がこの向心力の役割を果たしているので、この2つの力の大きさは等しくなります。

$\frac{GMm}{r^2}=mr\omega^2\quad\cdots(1)$

ステップ2:角速度 $\omega$ と周期 $T$ の関係を使う

物体が円軌道を1周する(角度にして $2\pi$ ラジアン、つまり $360°$ 回転する)のにかかる時間が周期 $T$ です。角速度は単位時間あたりに回転する角度のことなので、

$\omega=\frac{2\pi}{T}\quad\cdots(2)$

という関係が成り立ちます。

ステップ3:(1)式に(2)式を代入する

(2)式を(1)式の $\omega$ に代入します。

$\frac{GMm}{r^2}=mr\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

右辺の $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$ を計算すると $\frac{4\pi^2}{T^2}$ なので、

$\frac{GMm}{r^2}=mr\times\frac{4\pi^2}{T^2}=\frac{4\pi^2mr}{T^2}$

ステップ4:両辺を整理して $T^2$ と $r^3$ の関係を導く

両辺に共通する $m$(物体の質量、$0$ ではありません)で両辺を割ります。

$\frac{GM}{r^2}=\frac{4\pi^2r}{T^2}$

この式の両辺に $T^2$ をかけます。

$\frac{GM}{r^2}\times T^2=4\pi^2r$

$\frac{GMT^2}{r^2}=4\pi^2r$

両辺に $\frac{r^2}{GM}$ をかけます。

$T^2=4\pi^2r\times\frac{r^2}{GM}=\frac{4\pi^2r^3}{GM}$

最後に、両辺を $r^3$ で割ります。

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$

右辺の $\frac{4\pi^2}{GM}$ は、$G$(万有引力定数、常に一定の値)と $M$(中心の天体の質量、同じ天体のまわりを回っている限り一定)だけで決まる値であり、公転している物体の質量 $m$ や、軌道の半径 $r$ にはよりません。したがって、同じ天体 $M$ のまわりを回る物体については、軌道の半径 $r$ が異なっていても、

$\frac{T^2}{r^3}=\text{一定}\left(=\frac{4\pi^2}{GM}\right)$

が成り立ちます。これがケプラーの第三法則であり、その比例定数が万有引力定数 $G$ と中心天体の質量 $M$ を用いて $\frac{4\pi^2}{GM}$ と表せることが証明されました。

この証明のポイント

「向心力の正体が何であるか(ここでは万有引力)」を特定し、向心力の一般的な式 $F=mr\omega^2$ と結びつけるという考え方は、円運動を伴う様々な現象(振り子、電荷の円運動など)を分析するときに共通して使える方法です。また、式の中に含まれる質量 $m$ が両辺から消えるという点も、天体の運動を考えるうえで重要な特徴です。