水平投射・斜方投射の軌道の式の導出

証明する内容

水平投射

高さのある場所から、水平方向に初速度 $v_0$ で物体を投げ出したとき(重力加速度の大きさを $g$ とします)、投げ出した点を原点とし、水平方向に $x$ 軸、投げ出した点から鉛直下向きを正として $y$ 軸をとると、物体が描く軌道(道すじ)は、次の式で表される放物線になることを証明します。

$y=\frac{g}{2v_0^2}x^2$

斜方投射

水平面から、水平面と角度 $\theta$ をなす向きに、初速度 $v_0$ で物体を投げ出したとき(重力加速度の大きさを $g$ とします)、投げ出した点を原点とし、水平方向に $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとると、物体が描く軌道は、次の式で表される放物線になることを証明します。

$y=x\tan\theta-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$

証明

水平投射の場合

投げ出した点を原点として、水平方向(初速度の向き)に $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとります。投げ出された物体には、水平方向には力ははたらかず(空気抵抗を無視します)、鉛直方向には重力だけがはたらきます。

水平方向と鉛直方向は互いに独立な運動として、別々に考えることができます。

水平方向の運動: 水平方向には力がはたらかないので、加速度は $0$ です。したがって、水平方向の速度は常に初速度 $v_0$ のままで変わらない等速直線運動です。時刻 $t$ における水平方向の位置 $x$ は、

$x=v_0t \quad\cdots(1)$

となります。

鉛直方向の運動: 鉛直下向きを正としているので、重力による加速度は $+g$ です。鉛直方向の初速度は $0$(水平に投げ出しているため)なので、等加速度直線運動の公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$(このページでは鉛直方向の変位を表すのに使うので、文字を $y$ に置き換えます)より、

$y=0\times t+\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}gt^2\quad\cdots(2)$

となります。

時間 $t$ の消去: (1)式より、

$t=\frac{x}{v_0}$

これを(2)式に代入します。

$y=\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0}\right)^2=\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{v_0^2}=\frac{g}{2v_0^2}x^2$

したがって、

$y=\frac{g}{2v_0^2}x^2$

が得られます。これは $y$ が $x^2$ に比例する形の式であり、放物線を表しています。

斜方投射の場合

投げ出した点を原点として、水平方向に $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとります。初速度 $v_0$ を、水平方向の成分と鉛直方向の成分に分解します。投げ出す向きが水平面と角度 $\theta$ をなすので、直角三角形の辺の比(三角比の定義)を考えると、水平方向の初速度成分は $v_0\cos\theta$、鉛直方向の初速度成分は $v_0\sin\theta$ になります。

水平方向の運動: 水平方向には力がはたらかないので、加速度は $0$ の等速直線運動です。時刻 $t$ における水平方向の位置は、

$x=v_0\cos\theta\times t\quad\cdots(3)$

鉛直方向の運動: 鉛直上向きを正としているので、重力による加速度は $-g$(下向きの力なので、上向きを正とする座標では負の値になります)です。鉛直方向の初速度は $v_0\sin\theta$ なので、等加速度直線運動の公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ を、鉛直方向について立てると、

$y=v_0\sin\theta\times t+\frac{1}{2}(-g)t^2=v_0\sin\theta\times t-\frac{1}{2}gt^2\quad\cdots(4)$

時間 $t$ の消去: (3)式より、

$t=\frac{x}{v_0\cos\theta}$

これを(4)式に代入します。

$y=v_0\sin\theta\times\frac{x}{v_0\cos\theta}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2$

第1項を整理します。$v_0$ が約分できるので、

$v_0\sin\theta\times\frac{x}{v_0\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}x=x\tan\theta$

(ここで、$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ という三角比の関係を使いました。)

第2項を整理します。

$\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2=\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{v_0^2\cos^2\theta}=\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$

以上をまとめると、

$y=x\tan\theta-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$

が得られます。これも $x^2$ の項を含む式なので、放物線を表しています。

この証明のポイント

平面上の運動を、互いに影響しない水平方向と鉛直方向の2つの1次元の運動に分けて、それぞれ別々に運動の式を立てるという考え方が最も重要です。そのうえで、共通の時刻 $t$ を消去すれば、2方向の運動の情報を1つの軌道の式にまとめることができます。