反発係数と衝突後の速度の導出

証明する内容

質量 $m_1$、$m_2$ の2つの物体が一直線上を運動して衝突したとします。衝突前の速度をそれぞれ $v_1$、$v_2$、衝突後の速度をそれぞれ $v_1'$、$v_2'$、この2物体間の反発係数(はねかえり係数)を $e$($0\leq e\leq1$)とすると、衝突後の速度 $v_1'$、$v_2'$ は、衝突前の速度・質量・反発係数を使って、次のように表されることを証明します。

$v_1'=\frac{(m_1-em_2)v_1+m_2(1+e)v_2}{m_1+m_2}$

$v_2'=\frac{m_1(1+e)v_1+(m_2-em_1)v_2}{m_1+m_2}$

証明

ステップ1:2つの関係式を用意する

この証明では、次の2つの関係式を使います。

1つ目は運動量保存則です。この2物体には、衝突のときに互いに及ぼし合う力以外に外力がはたらかないとすると(運動量保存則の証明は「運動量保存則の証明」のページを参照してください)、

$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\quad\cdots(1)$

2つ目は反発係数の定義です。反発係数 $e$ は、衝突前の2物体の相対速度(物体1から見た物体2の速度、あるいは物体2から見た物体1の速度)の大きさに対する、衝突後の相対速度の大きさの比として定義され、衝突によって近づく向きの相対速度が、衝突後には遠ざかる向きに変わることを考えると、次の式で定義されます。

$e=-\frac{v_1'-v_2'}{v_1-v_2}\quad\cdots(2)$

(2)式の両辺に $-(v_1-v_2)$ をかけると、

$v_1'-v_2'=-e(v_1-v_2)\quad\cdots(2')$

という式が得られます。

ステップ2:計算の見通しをよくするため、記号を置く

このあとの計算を見やすくするために、衝突前の運動量の合計を $P$、$-e(v_1-v_2)$ を $D$ という文字で置きます。

$P=m_1v_1+m_2v_2$

$D=-e(v_1-v_2)$

これらの文字を使うと、(1)式と(2')式は、それぞれ次のように書き直せます。

$m_1v_1'+m_2v_2'=P\quad\cdots(1)$

$v_1'-v_2'=D\quad\cdots(2')$

ステップ3:$v_1'$、$v_2'$ について解く

(2')式を $v_1'$ について解くと、

$v_1'=v_2'+D\quad\cdots(3)$

これを(1)式に代入します。

$m_1(v_2'+D)+m_2v_2'=P$

左辺を展開すると、

$m_1v_2'+m_1D+m_2v_2'=P$

$v_2'$ を含む項をまとめると、

$(m_1+m_2)v_2'+m_1D=P$

$(m_1+m_2)v_2'=P-m_1D$

両辺を $m_1+m_2$($m_1$、$m_2$ はどちらも正の質量なので $0$ ではありません)で割ると、

$v_2'=\frac{P-m_1D}{m_1+m_2}\quad\cdots(4)$

次に、(4)式を(3)式に代入して $v_1'$ を求めます。

$v_1'=\frac{P-m_1D}{m_1+m_2}+D$

右辺を通分すると、

$v_1'=\frac{P-m_1D}{m_1+m_2}+\frac{(m_1+m_2)D}{m_1+m_2}=\frac{P-m_1D+(m_1+m_2)D}{m_1+m_2}$

分子を整理すると、

$P-m_1D+(m_1+m_2)D=P-m_1D+m_1D+m_2D=P+m_2D$

したがって、

$v_1'=\frac{P+m_2D}{m_1+m_2}\quad\cdots(5)$

ステップ4:$P$、$D$ をもとの文字に戻す

(4)式、(5)式に、$P=m_1v_1+m_2v_2$、$D=-e(v_1-v_2)$ を代入します。

まず $v_1'$ について、(5)式に代入すると、

$v_1'=\frac{m_1v_1+m_2v_2+m_2\times\{-e(v_1-v_2)\}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_1+m_2v_2-em_2v_1+em_2v_2}{m_1+m_2}$

$v_1$ を含む項、$v_2$ を含む項をそれぞれまとめると、

$v_1'=\frac{(m_1-em_2)v_1+(m_2+em_2)v_2}{m_1+m_2}=\frac{(m_1-em_2)v_1+m_2(1+e)v_2}{m_1+m_2}$

次に $v_2'$ について、(4)式に代入すると、

$v_2'=\frac{m_1v_1+m_2v_2-m_1\times\{-e(v_1-v_2)\}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_1+m_2v_2+em_1v_1-em_1v_2}{m_1+m_2}$

$v_1$ を含む項、$v_2$ を含む項をそれぞれまとめると、

$v_2'=\frac{(m_1+em_1)v_1+(m_2-em_1)v_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1(1+e)v_1+(m_2-em_1)v_2}{m_1+m_2}$

以上より、

$v_1'=\frac{(m_1-em_2)v_1+m_2(1+e)v_2}{m_1+m_2},\qquad v_2'=\frac{m_1(1+e)v_1+(m_2-em_1)v_2}{m_1+m_2}$

が証明されました。

(参考として、$e=1$(弾性衝突、失われるエネルギーが $0$ の衝突)で $m_1=m_2$ の場合にこの式に当てはめると、$v_1'=v_2$、$v_2'=v_1$ となり、2物体が速度を交換する結果になります。また、$e=0$(完全非弾性衝突)の場合には、$v_1'=v_2'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$ となり、2物体が衝突後に同じ速度で一体となって運動する結果になります。これらは、実際に知られている衝突の性質と一致しています。)

この証明のポイント

2つの未知数($v_1'$、$v_2'$)に対して2つの関係式(運動量保存則と反発係数の定義式)が立てられれば、連立方程式として解くことができます。計算が複雑に見えるときは、途中の式をいったん別の文字で置き換えて見通しをよくし、最後にもとの文字へ戻すという方法が有効です。