合成抵抗の公式(直列・並列)の導出

証明する内容

2つの抵抗(抵抗値 $R_1$、$R_2$)を接続したとき、これらをまとめて1つの抵抗とみなしたときの抵抗値(合成抵抗)$R$ について、次の式が成り立つことを証明します。

直列接続(2つの抵抗を一列につないだ場合)のとき、

$R = R_1+R_2$

並列接続(2つの抵抗の両端をそれぞれ共通の2点につないだ場合)のとき、

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

証明

証明には、オームの法則 $V=RI$(抵抗 $R$ に電流 $I$ が流れるとき、その両端の電圧は $V=RI$ になるという法則)と、回路の電流・電圧に関する次の2つの性質(キルヒホッフの法則)を使います。

• 電流則:枝分かれのない1本の道を流れる電流は、どこでも同じ大きさである。また、枝分かれする点(接続点)では、流れ込む電流の合計と流れ出す電流の合計が等しい。
• 電圧則:回路上の2点の間の電圧(電位差)は、その2点をどのような経路でたどっても同じ値になる。

直列接続の場合

抵抗 $R_1$ と $R_2$ を、途中で枝分かれしないように一列につないだ場合を考えます。この回路に電流 $I$ が流れているとします。

$R_1$ と $R_2$ の間の道には枝分かれがないので、電流則より、$R_1$ を流れる電流も、$R_2$ を流れる電流も、どちらも同じ $I$ です。

$R_1$ の両端の電圧を $V_1$、$R_2$ の両端の電圧を $V_2$ とすると、オームの法則より、

$V_1=R_1I,\qquad V_2=R_2I$

です。直列接続全体(2つの抵抗を合わせた両端)の電圧を $V$ とすると、これは $R_1$ の電圧降下と $R_2$ の電圧降下を足し合わせたものになります。これは、電圧則(2点間の電圧はどの経路でたどっても同じ)より、全体の両端の電圧は、$R_1$ の両端の電圧降下と $R_2$ の両端の電圧降下の合計に等しいということから分かります。

$V=V_1+V_2=R_1I+R_2I=(R_1+R_2)I$

一方、この直列接続全体を、合成抵抗 $R$ を持つ1つの抵抗とみなすと、オームの法則より、

$V=RI$

が成り立つはずです。この2つの式

$V=(R_1+R_2)I,\qquad V=RI$

は同じ電圧 $V$、同じ電流 $I$ について成り立つので、右辺どうしが等しくなります。

$RI=(R_1+R_2)I$

両辺を $I$(電流が流れているので $I\neq0$)で割ると、

$R=R_1+R_2$

が得られます。

並列接続の場合

抵抗 $R_1$ と $R_2$ の両端を、それぞれ共通の2点(2つの接続点)につないだ場合を考えます。この2点の間の電圧を $V$ とします。

$R_1$ の両端も $R_2$ の両端も、同じこの2点につながっているので、電圧則(2点間の電圧はどの経路でたどっても同じ)より、$R_1$ にかかる電圧も $R_2$ にかかる電圧も、どちらも同じ $V$ です。

$R_1$ に流れる電流を $I_1$、$R_2$ に流れる電流を $I_2$ とすると、オームの法則より、

$I_1=\frac{V}{R_1},\qquad I_2=\frac{V}{R_2}$

です。この並列部分全体に流れ込む電流を $I$ とすると、接続点で道が $R_1$ 側と $R_2$ 側に枝分かれするので、電流則(流れ込む電流の合計=流れ出す電流の合計)より、

$I=I_1+I_2=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}$

一方、この並列接続全体を、合成抵抗 $R$ を持つ1つの抵抗とみなすと、オームの法則より、

$I=\frac{V}{R}$

が成り立つはずです。この2つの式

$I=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2},\qquad I=\frac{V}{R}$

の右辺どうしが等しくなるので、

$\frac{V}{R}=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}$

両辺を $V$(電圧がかかっているので $V\neq0$)で割ると、

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

が得られます。

この証明のポイント

回路の問題では、「枝分かれのない部分は電流が共通」「同じ2点をつなぐ部分は電圧が共通」という2つの性質を見抜くことが最も重要です。この性質さえ分かれば、あとはオームの法則を当てはめるだけで、どんな抵抗の組み合わせでも合成抵抗を求めることができます。