公式の証明・導出
電磁誘導の起電力(ファラデーの法則)の証明
関連単元: 物理 電気と磁気
証明する内容
長さ $L$ の導体棒が、大きさ $B$ の一様な磁場の中を、磁場に垂直な向きに、速さ $v$ で動いているとします(導体棒自身も、動く向きに垂直な向きに置かれているとします)。このとき、導体棒の両端の間には、次の大きさの誘導起電力(電圧)が生じます。
$V = vBL$
この証明では、動いている導体棒の中の自由電子が磁場から受ける力(ローレンツ力)を考えることで、この式を導きます。
証明
ステップ1:状況の設定
導体棒が、$x$ 軸の正の向きに速さ $v$ で動いているとします。磁場は、この動く向きにも導体棒にも垂直な向き($z$ 軸の向き)を持ち、大きさ $B$ の一様な磁場だとします。導体棒自身は、$x$ 軸にも $z$ 軸にも垂直な $y$ 軸の向きに置かれており、長さは $L$ です。
導体棒の中には、自由に動くことができる自由電子(電気量 $-e$、$e>0$)がたくさんあります。導体棒が速さ $v$ で動くと、導体棒の中の自由電子も、導体棒と一緒に、同じ速さ $v$ で $x$ 軸の正の向きに動きます。
ステップ2:自由電子が受けるローレンツ力を求める
磁場の中を速さ $v$ で動く電気量 $q$ の荷電粒子は、その速度と磁場の両方に垂直な向きに、大きさ
$F = qvB$
の力(ローレンツ力)を受けます(ただし、速度の向きと磁場の向きが垂直な場合を考えています。ここでは、導体棒の動く向き($x$ 軸)と磁場の向き($z$ 軸)が垂直なので、この式がそのまま使えます)。
導体棒の中の自由電子は、電気量の大きさが $e$ で、速さ $v$ で $x$ 軸の正の向きに動いているので、磁場から受ける力の大きさは、
$F = evB$
です。この力の向きは、電子の速度の向き($x$ 軸)にも磁場の向き($z$ 軸)にも垂直なので、導体棒の向き($y$ 軸)に沿った向きになります。したがって、この力によって、自由電子は導体棒に沿って(棒の一端に向かって)押し流されることになります。
ステップ3:電荷が導体棒の一端に集まり、電場ができる
ステップ2で求めた力によって、導体棒の中の自由電子は、導体棒の一端(仮に端Aとします)に向かって押し流されます。その結果、端Aには電子が集まって負の電気量が過剰になり、反対側の端(端Bとします)には電子が不足して、正の電気量が過剰になります。
このように導体棒の両端に電荷が分かれると、導体棒の内部には、正の電気量が過剰な端Bから、負の電気量が過剰な端Aに向かう向きの電場 $E$ ができます。負の電気量を持つ自由電子は、電場から、電場の向きとは反対向き(端Aから端Bに向かう向き)の力を受けます。これは、ちょうど、電子を端Aに押しやろうとするローレンツ力とは逆向きの力であり、電荷の移動を妨げる向きにはたらきます。
つまり、電荷の移動が進むにつれて、この電場からの力(電子の移動を妨げる向きの力)が次第に大きくなっていき、ローレンツ力とつり合う状態に近づいていきます。
ステップ4:力のつり合いの条件を求める
電荷の移動が十分に進むと、自由電子にはたらく2つの力、
- 磁場から受けるローレンツ力(大きさ $evB$、端Aへ向かう向き)
- 電荷が偏ったことでできた電場から受ける力(電場の大きさを $E$ とすると、大きさ $eE$、端Bへ向かう向き)
がつり合うようになり、それ以上、電子は移動しなくなります(移動しなくなった状態が、定常状態です)。このつり合いの条件は、力の大きさが等しいことから、
$eE = evB$
両辺を $e$ で割ると、
$E = vB$
となります。これが、定常状態における導体棒内部の電場の大きさです。
ステップ5:電場から電位差(起電力)を求める
導体棒の内部にできた電場 $E$ は、一様な電場とみなせます(電荷が導体棒の両端に集まっているため、ちょうど平行板コンデンサーの内部の電場のように、導体棒の長さ方向に一様な電場ができると考えられます)。
一様な電場 $E$ の中で、電場の向きに沿って距離 $L$(導体棒の長さ)だけ離れた2点の間の電位差は、
$V = EL$
という関係で表されます。ステップ4で求めた $E=vB$ をこの式に代入すると、
$V = vB\times L = vBL$
が得られます。この電位差 $V$ が、導体棒の両端に生じる誘導起電力です。
この証明のポイント
この証明では、「動く荷電粒子が磁場から受けるローレンツ力によって電荷が分かれ、それによってできる電場からの力とつり合う」という考え方を使いました。この、力のつり合いの状態を考えて未知の量(ここでは電場の大きさ)を求めるという方法は、他の多くの物理の問題にも応用できる考え方です。