平行板コンデンサーの静電容量の式の導出

証明する内容

面積 $S$ の2枚の金属板を、間隔 $d$ だけ離して平行に向かい合わせたものを、平行板コンデンサーといいます。極板間を満たす物質の誘電率を $\varepsilon$ とするとき、このコンデンサーの静電容量 $C$ は、次の式で表されます。

$C = \varepsilon\frac{S}{d}$

静電容量とは、コンデンサーに電気量 $Q$ を蓄えたときに生じる極板間の電位差(電圧)$V$ との間に、$Q=CV$ という関係を成り立たせる比例定数のことです。この証明では、極板間にできる電場と、電場・電位差・距離の関係から、この式を導きます。

平行板コンデンサーの一方の極板に電気量 $+Q$、もう一方の極板に電気量 $-Q$ を与えると、極板間には、極板に垂直な向きの、大きさが一様な(どこでも同じ大きさの)電場ができます。この電場の大きさ $E$ は、極板の面積を $S$、誘電率を $\varepsilon$ として、

$E = \frac{Q}{\varepsilon S}$

と表されることが分かっています(これは、帯電した平行な板がつくる電場についての、別の法則(ガウスの法則)から導かれる結果ですが、ここでは既に分かっている事実として使います)。

一様な電場 $E$ の中で、電場の向きに沿って距離 $d$ だけ離れた2点の間の電位差 $V$ は、

$V = Ed$

という関係で表されます。これは、電位差が、単位電気量あたりの位置エネルギーの差であり、一様な電場の中では、電場の大きさに距離をかけたものになる、という関係です。

平行板コンデンサーの2枚の極板は、電場の向きに沿って距離 $d$ だけ離れているので、極板間の電位差 $V$ は、

$V = Ed$

と表せます。

ステップ1で求めた $E=\dfrac{Q}{\varepsilon S}$ を、ステップ2の式 $V=Ed$ に代入すると、

$V = \frac{Q}{\varepsilon S}\times d = \frac{Qd}{\varepsilon S}$

が得られます。これが、極板に電気量 $Q$ を与えたときに生じる電位差 $V$ です。

静電容量 $C$ は、電気量 $Q$ と電位差 $V$ の間の比例関係 $Q=CV$ における比例定数として定義されます。この関係を $C$ について解くと、

$C = \frac{Q}{V}$

です。ここに、ステップ3で求めた $V=\dfrac{Qd}{\varepsilon S}$ を代入すると、

$C = \frac{Q}{\dfrac{Qd}{\varepsilon S}} = Q\times\frac{\varepsilon S}{Qd}$

$Q$ を約分すると、

$C = \frac{\varepsilon S}{d}$

が得られます。これが、平行板コンデンサーの静電容量の式です。

この証明では、「電気量を与えたときに生じる電場と電位差を順番に求め、最後に定義の式($Q=CV$)に当てはめて比例定数を求める」という考え方を使いました。この、量と量の関係を一つずつ積み重ねてから、最後に求めたい定数を逆算するという方法は、他の回路素子の性質を調べる問題にも応用できます。