気体分子運動論から圧力の式を導く

証明する内容

気体は、非常にたくさんの小さな分子が飛び回っている集まりだと考えることができます。この気体分子運動論の考え方にもとづくと、分子が容器の壁に衝突するときに及ぼす力から、気体の圧力についての次の関係式を導くことができます。

$pV = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}$

ここで、$p$ は気体の圧力、$V$ は容器の体積、$N$ は容器の中の分子の個数、$m$ は分子1個の質量、$\overline{v^2}$ は分子の速さの2乗の平均値(2乗平均速度)を表します。この式は、「気体の圧力は、分子がどれだけの勢いで壁に衝突しているかによって決まる」ということを、数式で表したものです。

以下では、話を簡単にするために、1辺の長さが $L$ の立方体の容器を考え、その中に $N$ 個の同じ分子(質量 $m$)が飛び回っているとして、圧力の式を導いていきます。

証明

ステップ1:状況の設定

1辺の長さが $L$ の立方体の容器を考えます。座標軸を、容器のある1つの辺に沿って $x$ 軸をとるように設定します。容器の中には $N$ 個の分子があり、それぞれ質量 $m$ で、いろいろな方向にいろいろな速さで飛び回っているとします。

まず、$x$ 軸に垂直な2枚の壁(容器の面のうち、$x=0$ の面と $x=L$ の面)に注目します。1個の分子の速度を、$x$ 方向、$y$ 方向、$z$ 方向の成分に分けて考え、$x$ 方向の速度成分を $v_x$ とします。

ステップ2:1回の衝突で壁が受ける力積を求める

分子が $x=L$ の壁に垂直に衝突し、はね返る(弾性衝突をする)場合を考えます。衝突の前後で、分子の $x$ 方向の速度は $v_x$ から $-v_x$ に変わります(速さは変わらず、向きだけ反対になります)。

このとき、分子の運動量の $x$ 成分の変化は、

$(-mv_x) - (mv_x) = -2mv_x$

です。運動量変化は分子が壁から受けた力積に等しいので、分子は壁から $-2mv_x$ の力積を受けたことになります。作用・反作用の法則より、分子が壁に与える力積は、その反対向きで大きさが等しいので、

$2mv_x$

となります。

ステップ3:分子が壁に衝突する頻度を求める

この分子は、$x=L$ の壁に衝突したあと、容器の反対側の壁($x=0$)まで進み、そこでも(同様に)はね返って、また $x=L$ の壁に戻ってくる、という往復運動を($x$ 方向について見ると)繰り返します。

$x=L$ の壁から $x=0$ の壁まで進み、また $x=L$ の壁まで戻ってくるまでに分子が $x$ 方向に進む距離は、往復で $2L$ です。この間、分子の $x$ 方向の速さは $v_x$ で一定と考えられるので(壁との衝突は $x$ 方向の速さを変えないため、$y$、$z$ 方向の運動は $x$ 方向の運動に影響しません)、1往復にかかる時間は、

$\Delta t = \frac{2L}{v_x}$

です。つまり、この分子は時間 $\Delta t = \dfrac{2L}{v_x}$ ごとに1回、$x=L$ の壁に衝突します。

ステップ4:1個の分子が壁に及ぼす平均の力を求める

「平均の力」は、「単位時間あたりに壁に与える力積」として求めることができます。ステップ2より、1回の衝突で壁に与える力積は $2mv_x$ です。ステップ3より、衝突は時間 $\Delta t = \dfrac{2L}{v_x}$ ごとに1回起こります。したがって、この1個の分子が $x=L$ の壁に及ぼす平均の力 $f$ は、

$f = \frac{2mv_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{\dfrac{2L}{v_x}} = \frac{2mv_x \times v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L}$

となります。

ステップ5:すべての分子について合計し、圧力を求める

容器の中には $N$ 個の分子があり、それぞれ $x$ 方向の速度成分 $v_x$ は異なります。$i$ 番目の分子の $x$ 方向の速度成分を $v_{x,i}$ とすると、$x=L$ の壁が $N$ 個すべての分子から受ける力の合計 $F$ は、ステップ4の結果を全部の分子について足し合わせて、

$F = \sum_{i=1}^{N} \frac{m v_{x,i}^2}{L} = \frac{m}{L}\sum_{i=1}^{N} v_{x,i}^2$

となります。ここで、$v_x^2$ の平均値を $\overline{v_x^2} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^N v_{x,i}^2$ と定義すると、$\displaystyle\sum_{i=1}^{N} v_{x,i}^2 = N\overline{v_x^2}$ と書けるので、

$F = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$

となります。

圧力は「単位面積あたりに働く力」ですから、壁の面積 $L^2$ で $F$ を割って、

$p = \frac{F}{L^2} = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L^3}$

が得られます。$L^3$ は容器の体積 $V$ に等しいので、

$p = \frac{Nm\overline{v_x^2}}{V}$

すなわち、

$pV = Nm\overline{v_x^2} \quad \cdots (\ast)$

となります。

ステップ6:$\overline{v_x^2}$ を $\overline{v^2}$ で表す

最後に、$\overline{v_x^2}$ を、分子の速さ全体の2乗平均 $\overline{v^2}$ で表します。1個の分子の速度を $x$、$y$、$z$ 方向の成分 $v_x$、$v_y$、$v_z$ に分けると、三平方の定理(3次元版)より、

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

が成り立ちます。分子は容器の中でいろいろな方向に飛び回っており、特定の方向に偏っているとは考えられません。したがって、$x$、$y$、$z$ のどの方向についても平均的には同じ性質を持つと考えられ、

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

が成り立つとみなせます。この3つが等しいことと、$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$ の両辺の平均をとった式

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$

を合わせると、

$\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$

したがって、

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

となります。これを $(\ast)$ 式に代入すると、

$pV = Nm \times \frac{1}{3}\overline{v^2} = \frac{1}{3}Nm\overline{v^2}$

が得られます。これが求める圧力の式です。

この証明のポイント

この証明では、「衝突によって生じる力積を時間で割ることで平均の力を求める」という考え方と、「方向による偏りがない(等方的である)という仮定から、ある成分の平均を全体の平均の $\frac{1}{3}$ とみなす」という考え方を使いました。この2つの考え方は、力積と運動量の関係を扱う他の問題にも応用できます。